취미로 코딩하기

※ 글쓴이는 취미로 코딩을 익혀보는 사람이라 정확하지 않은 내용을 담고 있을 수 있다 ※

이번에 볼 문제는 백준 16516번 문제인 Lipschitz Constant이다.
문제는 아래 링크를 확인하자.

https://www.acmicpc.net/problem/16516

주어진 이산함수의 립시츠 상수(Lipschitz Constant)를 구하는 문제이다. 립시츠 상수는 함수 위의 서로 다른 두 점을 이어 얻을 수 있는 직선의 기울기의 절댓값의 상계(upper bound)를 의미한다.

서로 다른 세 \(x\)좌표 \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\)에 대하여 \(x_1\)과 \(x_3\)을 이어 얻을 수 있는 직선의 기울기의 절댓값은 항상 \(x_1\), \(x_2\)를 이어 얻을 수 있는 직선의 기울기의 절댓값, 그리고 \(x_2\), \(x_3\)를 이어 얻을 수 있는 직선의 기울기의 절댓값 둘 중 하나보다 작거나 같은 값을 가질 수밖에 없음을 관찰하자. 증명은 양의 실수 \(a\), \(c\)와 실수 \(b\), \(d\)에 대하여 \(\frac{b}{a}<\frac{d}{c}\)이면 \( \frac{b}{a}  < \frac{b+d}{a+c} < \frac{d}{c} \)이 성립함을 이용해 간단하게 할 수 있다.

따라서 주어진 문제에서 립시츠 상수는 각 \(x\)값들을 오름차순으로 정렬했을 때 서로 이웃한 차례의 \(x\)값을 갖는 점들끼리의 기울기만을 확인하는 것으로 구할 수 있다. 이를 구현해 문제를 해결하자.

아래는 제출한 소스코드이다.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;

int N;
vector<pair<int, ld>> vec;
ld ans;

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);

	cin >> N;
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		int x; ld y; cin >> x >> y;
		vec.emplace_back(make_pair(x, y));
	}

	sort(vec.begin(), vec.end());

	for (int i = 0; i + 1 < N; i++) {
		ans = max(ans, abs((vec[i + 1].second - vec[i].second) / (vec[i + 1].first - vec[i].first)));
	}

	cout << fixed;
	cout.precision(10);
	cout << ans;
}